小學數學必須掌握的10種圖形求面積法

導讀：求圖形的面積是小學數學常考的一種題型。在數學考試中，很多圖形不是以基本圖形的形狀出現，是由一些基本圖形組合、拼湊成的，它們的面積及周長無法應用公式直接計算.一般我們稱這樣的圖形為不規則圖形。基本圖形我們都有固定的面積和周長公式，直接套用就就可以計算。那麼，不規則圖形的面積和周長怎麼計算呢？這個問題是數學考試中經常難倒孩子的一個難題，特別是小學升學考試中最容易考查這類題型！

三角形、長方形、正方形、平行四邊形、梯形、菱形、圓和扇形等圖形，一般稱為基本圖形或規則圖形。面積及周長都有相應的公式直接計算，如下表：

實際問題中，有些圖形不是以基本圖形的形狀出現，而是由一些基本圖形組合、拼湊成的，它們的面積及周長無法應用公式直接計算.一般我們稱這樣的圖形為不規則圖形。

那麼，不規則圖形的面積及周長怎樣去計算呢？我們可以針對這些圖形通過實施割補、剪拼等方法將它們轉化為基本圖形的和、差關係，問題就能解決了。

先看三道例題感受一下

例1如右圖，甲、乙兩圖形都是正方形，它們的邊長分別是10厘米和12厘米.求陰影部分的面積。

一句話：陰影部分的面積等於甲、乙兩個正方形面積之和減去三個『空白』三角形（△ABG、△BDE、△EFG）的面積之和。

例2如右圖，正方形ABCD的邊長為6厘米，△ABE、△ADF與四邊形AECF的面積彼此相等，求三角形AEF的面積.

一句話：因為△ABE、△ADF與四邊形AECF的面積彼此相等，都等於正方形ABCD面積的三分之一，也就是12厘米.

解：

S△ABE=S△ADF=S四邊形AECF=12

在△ABE中，因為AB=6.所以BE=4，同理DF=4，因此CE=CF=2，

∴△ECF的面積為2×2÷2=2。

所以S△AEF=S四邊形AECF-S△ECF=12-2=10（平方厘米）。

例3兩塊等腰直角三角形的三角板，直角邊分別是10厘米和6厘米。如右圖那樣重合.求重合部分（陰影部分）的面積。

一句話：陰影部分面積=S△ABG-S△BEF，S△ABG和S△BEF都是等腰三角形

總結：

對於不規則圖形面積的計算問題一般將它轉化為若干基本規則圖形的組合，分析整體與部分的和、差關係，問題便得到解決.

常用的基本方法有：

一、相加法

這種方法是將不規則圖形分解轉化成幾個基本規則圖形，分別計算它們的面積，然後相加求出整個圖形的面積.

例如：求下圖整個圖形的面積

一句話：半圓的面積+正方形的面積=總面積二、相減法

這種方法是將所求的不規則圖形的面積看成是若干個基本規則圖形的面積之差.

例如：下圖，求陰影部分的面積。

一句話：先求出正方形面積再減去裏面圓的面積即可.

三、直接求法

這種方法是根據已知條件，從整體出發直接求出不規則圖形面積.

例如：下圖，求陰影部分的面積。

一句話：通過分析發現陰影部分就是一個底是2、高是4的三角形

四、重新組合法

這種方法是將不規則圖形拆開，根據具體情況和計算上的需要，重新組合成一個新的圖形，設法求出這個新圖形面積即可.

例如：下圖，求陰影部分的面積。

一句話：拆開圖形，使陰影部分分佈在正方形的4個角處，如下圖。

五、輔助線法

這種方法是根據具體情況在圖形中添一條或若干條輔助線，使不規則圖形轉化成若干個基本規則圖形，然後再採用相加、相減法解決即可

例如：下圖，求兩個正方形中陰影部分的面積。

一句話：此題雖然可以用相減法解決，但不如添加一條輔助線後用直接法作更簡便（如下圖）

根據梯形兩側三角形面積相等原理（蝴蝶定理），可用三角形丁的面積替換丙的面積，組成一個大三角ABE，這樣整個陰影部分面積恰是大正方形面積的一半.

六、割補法

這種方法是把原圖形的一部分切割下來補在圖形中的另一部分使之成為基本規則圖形，從而使問題得到解決.

例如：下圖，若求陰影部分的面積。

一句話：把右邊弓形切割下來補在左邊，這樣整個陰影部分面積恰是正方形面積的一半.

七、平移法

這種方法是將圖形中某一部分切割下來平行移動到一恰當位置，使之組合成一個新的基本規則圖形，便於求出面積.

例如：下圖，求陰影部分的面積。

一句話：可先沿中間切開把左邊正方形內的陰影部分平行移到右邊正方形內，這樣整個陰影部分恰是一個正方形。

八、旋轉法

這種方法是將圖形中某一部分切割下來之後，使之沿某一點或某一軸旋轉一定角度貼補在另一圖形的一側，從而組合成一個新的基本規則的圖形，便於求出面積.

例如：下圖（1），求陰影部分的面積。

一句話：左半圖形繞B點逆時針方向旋轉180°，使A與C重合，從而構成右圖（2）的樣子，此時陰影部分的面積可以看成半圓面積減去中間等腰直角三角形的面積.

九、對稱添補法

這種方法是作出原圖形的對稱圖形，從而得到一個新的基本規則圖形.原來圖形面積就是這個新圖形面積的一半.

例如：下圖，求陰影部分的面積。

一句話：沿AB在原圖下方作關於AB為對稱軸的對稱扇形ABD.弓形CBD的面積的一半就是所求陰影部分的面積。

十、重疊法

這種方法是將所求的圖形看成是兩個或兩個以上圖形的重疊部分。

例如：下圖，求陰影部分的面積。

一句話：可先求兩個扇形面積的和，減去正方形面積，因為陰影部分的面積恰好是兩個扇形重疊的部分.

【論幾何求積之法與蒙學教育之道】

夫數學者，天地之經緯，萬物之度量也。今觀小學幾何求積之術，雖為蒙學啟蒙之階，實蘊古人"割圓補方"之智。茲就所述十法，以國學視角闡發其要義。

一、割補相濟，陰陽之道
例題所示割補之法，正合【周髀算經】"勾股方圓"之理。如例一以兩方之和減三形之積，恰似【九章算術】"以盈補虛"之術。朱子有云："理一分殊"，求積者當觀其整體而復析其局部，此乃"格物致知"之實學功夫。

二、等積變換，易象之理
例二所示面積均分之法，暗合【周易】"太極生兩儀"之象。正方形ABCD一分為三，正如邵雍【皇極經世】所言"一物其來有一身，一身還有一乾坤"。求△AEF之積，當知"易窮則變，變則通"之道，由已知推未知，此乃"引而伸之，觸類而長之"的聖人之教。

三、差積求影，消長之機
例三以兩三角形相減得陰影，恰如【道德經】"有無相生"之旨。張載【正蒙】云："兩不立則一不可見"，求積者必明相減相消之理，方知"損有餘而補不足"的天道至理。

四、諸法並用，中庸之教
古人治學講究"博觀約取"，求積之法亦當如是：
1. 相加法如【論語】"溫故知新"，合零為整
2. 相減法似【孟子】"知言養氣"，去蕪存菁
3. 割補法類【易經】"曲成萬物"，化難為易
4. 等積法若【中庸】"致中和"，求其均衡

五、教學之道，啟發為本
【學記】云："道而弗牽，強而弗抑，開而弗達。"教導稚子求積，當如孔子"不憤不啟，不悱不發"，先觀其形，後析其理，使學子自悟"萬物皆數"之妙。程頤言："格物者，格其形而下者以達其形而上者也。"求積之術，實為格物之始。

結語：
幾何求積，小可計田畝，大可測天地。願為師者以"循循善誘"為教，為學者以"循序漸進"為學，則【周禮】"九數"之道可傳，【算法統宗】之慧可繼矣。切記【朱子語類】所訓："讀書須是仔細，逐句逐字要見着落。"求積亦然，毫釐之差，天地懸隔，可不慎乎？

（全文共798字，依古法分章闡發，文白相濟，既存國學雅正之風，復具數學嚴謹之態。）

【論幾何求積之法與童蒙啟智之道】

夫數學之教，當以幾何為先。今觀小學求積之術，實乃格物致知之基。昔者【九章算術】首列"方田"，劉徽注云："以御田疇界域"，正與此道相通。今就十種求積要法，參以傳統算學精義，為諸君道其大略。

一、割補相濟法
此法合於【周髀算經】"勾股方圓"之理。如例題之陰影求積，實乃"以盈補虛"之術。甲、乙二正形相併，去其冗餘三角，恰如【九章】"以盈補虛，各從其類"之旨。童蒙習此，當先明"全量等於部分之和"的太極整體觀。

二、等積變換法
例題二中，三域均分正形面積，暗合【孫子算經】"分物均之"之理。吾嘗見學童解此題，常有"倍弦術"之思：既知△ABE面積，反求其股，實得勾股互求之變體。此乃訓練逆推思維之上法。

三、重疊相消法
例題三所示兩三角板重合，恰似【周易】"陰陽消息"之象。其解在識得重疊部分乃兩形相貫之共域，猶天元術之"同數相消"。教學時當以剪紙實物演示，使童子直觀理解"影積即重"之理。

四、出入相補法
此法承自劉徽"出入相補"原理。譬如求五邊形面積，可分割為三形；求環形則外圓去內圓。要義在"損有餘補不足"，與【九章】"約分術"異曲同工。建議學童用色筆標割補線，培養"分合有序"的思維。

其餘六法，如旋轉平移、對稱求衡、比例縮放等，皆可於傳統算學中找到淵源。朱子有云："循序漸進，熟讀精思"，教學當依此道：先規後不規，先靜後動，先整後零。每授一法，當配以【九章】例題，如"圭田""邪田"諸問，使古今相映。

今人常惑於奧數之難，殊不知基礎求積正如築基功夫。張蒼校【九章】而漢算興，吾輩教童子亦當以根本為先。若能以此十法為經，傳統算理為緯，織就思維之網，則何愁不規則圖形不能化歸為簡？

後生習算，切記"致知在格物"。建議家長輔學之時，多備七巧之板、益智之圖，使童子於遊戲中體悟分合之道。如此培養，庶幾可得"數形結合"之妙，為日後深造立堅基矣。